Trenes y matemáticas

Trenes y matemáticas

Trenes y matemáticas, un clásico, ¿verdad? El Madrid-Barça de los problemas de matemáticas básicas. “Un tren sale de… y otro sale de…” es un leitmotiv en un problema matemático, como cuando un chiste comienza por “esto era un inglés y un español…”, el Trending Topic de los problemas matemáticos. Pero, ¿cómo se puede construir este tipo de problemas?

No vamos a determinar origen y destino, pues Renfe llega a tantas ciudades que crearíamos un sesgo innecesario, y en Matemáticas hablamos sin sesgos. Hablemos de punto A y punto B, el problema se podría generalizar en el escenario siguiente:

Un tren sale del punto A a una velocidad media de VA km/h. Otro tren sale en dirección opuesta del punto B a una velocidad media de VB km/h.

Hay varias preguntas posibles aquí, pero jugamos con pocas variables y 2 unidades de medida: la distancia (en kilómetros) y el tiempo (en horas). Vamos a describir los 4 tipos de problemas que pueden ser descritos en este escenario.

  1. Momento o distancia del cruce

Para calcular el momento en el que se cruzan, faltaría otra información, la distancia entre A y B. Este es el más simple y tradicional de los problemas.

  1. 1*: Un tren sale del punto A a una velocidad media de 100km/h. Al mismo tiempo otro tren sale en dirección opuesta desde el punto B a una velocidad media de 80km/h. La distancia entre A y B es de 280 km. ¿A qué distancia de A se encontrarán?

*Las soluciones las dejamos para el final

trenes1

Esta pregunta es una cuestión espacial, de distancia. En el momento en el que se cruzan, ¿cuánta distancia habrá recorrido cada tren?

PISTA: Utilizando que la velocidad es la distancia dividido por el tiempo recorrido, si medimos la distancia será la velocidad multiplicada por el tiempo recorrido. La distancia total es la suma de la distancia que recorre A hasta que se cruzan (dA) y la distancia que recorre B hasta que se cruzan (dB). Y hasta ahí puedo leer…

  1. Tiempo de recorrido

La siguiente pregunta estándar sería el tiempo que tarda un tren en cruzarse con otro. Aquí vamos a jugar con un problema de cambio de unidades.

  1. 2*: Un tren sale del punto A a las 9:15 de la mañana y tiene una velocidad media de 120km/h. A las 10:00 otro tren sale en dirección opuesta desde el punto B a una velocidad media de 200km/h. La distancia entre A y B es de 500 km. ¿A qué hora se cruzan los trenes?

trenes2Esta pregunta es una cuestión temporal, el gran enemigo del hombre de nuestros tiempos, valga la redundancia. En el momento en el que se cruzan, ¿qué hora es?, Suponemos que están en la misma franja horaria.

PISTA: El tiempo transcurrido equivale a la distancia recorrida por un objeto dividida por la velocidad media. Cuidadín con los minutos y las horas…

  1. Modificaciones de velocidad

Los trenes no van siempre a la misma velocidad, y hallar la velocidad media no siempre es fácil. Vamos a tratar con velocidad distintas, y para tener un dato significativo descartaremos los tiempos de arrancada y de frenada.

  1. 3*: Un tren sale del punto A a las 17:30 de la tarde. A las 18:15 hace una parada en el punto B que está a 100 km del punto A. Vuelve a arrancar y llega al punto C a las 20:00, estando a 400km del punto de partida A. Considerando 5 minutos los tiempos aproximados de arrancada y frenada, ¿cuál es la velocidad media de este tren?

trenes3

Este problema se complica más, ¿verdad?

PISTA: Para hacer la media recuerda que la distancia entre A y B no equivale a la de B y C, hay que tratarlas de manera diferente…

  1. 3 (ampliación)*: Renfe está contemplando añadir una parada justo a la mitad entre B y C. Si suponemos la velocidad media anterior constante y mismos tiempos de arrancada y frenada, ¿a qué hora pasaría por esa parada?
  2. Problemas con truco

Para terminar, hay problemas que vienen con sorpresa, y que la propia respuesta da lugar a debates y nuevas ideas. Son más problemas lógicos que aritméticos, pero interesantes siempre. Vamos a poner ciudades en lugar de puntos, para ser más clásicos…

  1. 4*: Un tren sale de Alicante a las 10:00 de la mañana dirección Madrid. Media hora más tarde un tren sale de Madrid dirección Alicante. Cuando se cruzan, a las 11h y 15 minutos, los maquinistas tocan la bocina para saludarse. ¿Cuál de los dos está más cerca de Barcelona en ese momento?

Soluciones (redondeadas a la centésima):

Matemáticas blog

1: Distancia recorrida por el tren que sale de A: 155’56 km

2: Hora de cruce de trenes: 11:17 h

3: (Sin tener en cuenta la distancia recorrida de frenado y arrancado) Velocidad media entre A y B: 171’43 km/h, velocidad media entre B y C. 252’63 km/h.
Velocidad media viaje: 236’39 km/h.

4: En el momento del cruce, el tren más cercano a Barcelona es el que circule por el raíl más cercano a Barcelona. En este caso, por lo general, los trenes circulan por el raíl derecho, así que estará más cerca el tren que va de Alicante dirección Madrid.

Santi García es matemático y divulgador científico / @SantiGarciaCC

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Hay 3 comentarios de para este artículo
  1. Alejandro at 13:37

    Estupenda la iniciativa.

    Os sugiero hacer otro post con problemas físicos relacionados con trenes:

    – Movimiento absoluto y relativo
    – Fuerza de Coriolis

    Animo!

    • Renfe Author at 14:01

      Hola, Alejandro, nos alegra que te agrade la iniciativa. Gracias por tu sugerencia. La tendremos en cuenta para próximas entradas. Un saludo.

  2. Pingback: Trenes y matemáticas - El Blog de Renfe | Matemática Positiva

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